[2016년 저현고]

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[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {3x ^{2}} dx]의 값은? [4.0점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

정적분 [eqn: int _{ -100} ^{0 } { left( 1over3 x^4 -1 right)^5 dx + int _{ 0} ^{-100 } {left( 1over3 x^4 -1 right) ^5 dx } }]의 값은? [4.0점]

①

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

곡선 [eqn: y= x^3 -x +4] 위의 점 [eqn: (1,```4)]에서의 접선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는? [4.1점]

②

① [eqn: 1OVER2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3OVER2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 OVER2]

삼차함수 [eqn: f(x)= x^3 -5x^2 +nx+3]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? [4.1점]

③

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]일 때의 위치가 각각
[eqn: p(t) = 1over3 t^3 +7t -10],
[eqn: q(t)=3t^2 -2t -5]
이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]사이의 거리는? [4.2점]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

실수 [eqn: a]에 대하여 정적분 [eqn: int _{ 0} ^{1 } { |x-a | dx }]의 최솟값은? [4.2점]

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 1 over2]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int _{ x} ^{a } {f(t)dt = x^2 -3x-4 }]를 만족하는 함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a)]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: -5]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

삼차함수 [eqn: f(x) =x^3 -3x +a]에 대하여 함수 [eqn: F(x)]를
[eqn: F(x) = int _{ 0} ^{ x} { f(t)dt}]
라 하자. 함수 [eqn: F(x)]가 단 하나의 극값을 갖도록 하는 양수 [eqn: a]의 최솟값은? [4.3점]

④

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(3)]의 최댓값은? [4.4점]

⑤

(가) 닫힌 구간 [eqn: [1,```3]]에서 연속이고 열린 구간

[eqn: (1,```3)]에서 미분가능하다.

(나) [eqn: 1<c<3]인 모든 [eqn: c]에 대하여 [eqn: | f` prime (c) | LEQ4]이다.

(다) [eqn: f(1)=2]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

사차함수 [eqn: y=f(x)]와 이차함수 [eqn: y=g(x)]에 대하여 두 함수 [eqn: y=f` prime (x)], [eqn: y=g prime (x)]의 그래프는 그림과 같다. 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)=f(x) -g(x)]라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

⑤

ㄱ. [eqn: alpha < x< beta]에서 함수 [eqn: h(x)]는 감소한다.

ㄴ. [eqn: f( alpha) -f( beta) >g( alpha) - g( beta)]

ㄷ. [eqn: f( beta) >g( beta)]일 때, 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는

[eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=2x^3 -3x^2 -6x]의 그래프와 직선 [eqn: y=6x+k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은? [4.4점]

②

① [eqn: -182]	② [eqn: -169]	③ [eqn: -156]

④ [eqn: -143]	⑤ [eqn: -130]

두 함수 [eqn: f(x)= x^3 -x^2 -13x +k], [eqn: g(x)=2x^2 +11x]에 대하여 [eqn: x GEQ 3]에서 부등식 [eqn: f(x) GEQ g(x)]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 60]	② [eqn: 65]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 75]	⑤ [eqn: 80]

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(x)=x^2 +2x +3 int _{ 0} ^{1 } {f(t)dt }]

가 성립할 때, [eqn: lim _{ x-> -1} { 1 over x+1 int _{ -1} ^{x } {f(t) dt } }]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

두 곡선 [eqn: f(x)=x^3 +4x], [eqn: g(x) = 3x^2 +2x]로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4.5점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 2]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 원점을 출발하고 [eqn: t]초가 지났을 때, 이 두 점의 속도는 모두 [eqn: v(t) = ( 10- |t-10 | )^3]이다. 점 [eqn: rmP]가 원점을 출발하고 [eqn: 10]초가 지났을 때, 점 [eqn: rmQ]가 원점을 출발하였다. 점 [eqn: rmQ]가 출발하고 [eqn: a]초가 지난 후 점 [eqn: rmP]가 만났을 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>10]) [4.5점]

⑤

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 기울기가 [eqn: 5]인 직선 [eqn: l]과 함수 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2]인 점에서 만나고, [eqn: x]좌표가 [eqn: 2]인 점에서 접한다. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 원점을 지날 때, [eqn: f(x)]의 극솟값은? [4.5점]

③

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

사차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: | f(x) |]는 [eqn: x=-1]에서만 미분가능하지 않으며 방정식 [eqn: f(x)=0]은 열린 구간 [eqn: (5,``9)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 이때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4.5점]

③

ㄱ. 함수 [eqn: |f(x) |]가 [eqn: x=a]에서 극소인 [eqn: a]의 값의 개수는

[eqn: 2]이다.

ㄴ. [eqn: f` prime (x)=0]은 열린 구간 [eqn: (2,``5)]에서 적어도 하나의

실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: f(0)>0]이면 방정식 [eqn: |f(x) |=f(0)]의 서로 다른

실근의 개수는 [eqn: 4]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 밑면이 정사각형이고 모서리의 길이가 모두 [eqn: 6]인 정사각뿔이 있다. 이 정사각뿔의 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면을 한 면으로 하고 정사각뿔 내부에 존재하는 직육면체의 부피의 최댓값은? [4.5점]

④

① [eqn: 4 root3]	② [eqn: 8 root2]	③ [eqn: 8 root3]

④ [eqn: 16 root2]	⑤ [eqn: 16 root3]

[eqn: lim _{ n->inf} { sum _{ k=1} ^{n } left | -1 + 2k over n right |^3 1 over n } = a int _{ 0} ^{1 } { |x |^3 dx }]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?
[4.6점]

②

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) =-x^3 +3x^2 -3x +2]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 하자. 함수
[eqn: < f(x) ,``g(x) > = cases{ g(x) ```(f(x) GEQg(x) ) # f(x) ```(f(x) <g(x)) }]
라 할 때, [eqn: int _{ 0} ^{2 } {<f(x),``g(x)> dx }]의 값은? [4.6점]

④

① [eqn: 9over8]	② [eqn: 5over4]	③ [eqn: 11over8]

④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: 13over8]

서술형

구간 [eqn: [1,``inf)]에서 함수 [eqn: f(x) =x^3 -3ax^2 +5]의 최솟값이 [eqn: 1]이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [6.0점]

[eqn: 1]

[eqn: 2a<1]인 경우와 [eqn: 1 le 2a]인 경우로 나눠서 답지 작성

구분구적법에 대한 각 물음에 답하시오. [총 7.0점]

(1) [eqn: { 2} over {3 }] ([eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {k} over {n} left(2- {k} over {n} right) RIGHT ) {1} over {n}]에 의하여)

(2) [eqn: {4} over {3} pi r^3] ([eqn: 2 TIMES lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} pi LEFT ( r ^{2} - LEFT ( {rk} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) { r} over {n }]에 의하여)

(1) 정적분 [eqn: int _{ 0} ^{1 } {x(2-x) dx }]를 구분구적법으로 구하시오.

[2.0점]

(2) 반지름의 길이가 [eqn: r]인 구의 부피를 구분구적법으로

구하시오. [5.0점]

[2016년 저현고]

[2학년(이과) 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com